CASOS DE FACTORIZACIÓN

INTRODUCCIÓN

Para entender la operación algebraica llamada factorización es preciso repasar los siguientes conceptos:

Cualquier expresión que incluya la relación de igualdad (=) se llama ecuación.
Una ecuación se denomina identidad si la igualdad se cumple para cualquier valor de las variables; si la ecuación se cumple para ciertos valores de las variables pero no para otros, la ecuación es condicional.
Un término es una expresión algebraica que sólo contiene productos de constantes y variables; 2x, – a, 3x son algunos ejemplos de términos.
La parte numérica de un término se denomina coeficiente.
Una expresión que contiene un solo término se denomina monomio; si contiene dos términos se llama binomio y si contiene tres términos, es un trinomio.
Un polinomio es una suma (o diferencia) finita de términos.
En este contexto, el grado es el mayor exponente de las variables en un polinomio. Por ejemplo, si el mayor exponente de la variable es 3, como en ax^3 + bx^2 + cx , el polinomio es de tercer grado .
Una ecuación lineal en una variable es una ecuación polinómica de primer grado ; es decir, una ecuación de la forma ax + b = 0 .
Las potencias de un número se obtienen mediante sucesivas multiplicaciones del número por sí mismo. El término a elevado a la tercera potencia, por ejemplo, se puede expresar como a·a·a o a^3

¿Qué es factorizar en álgebra?

Factorizar una expresión algebraica, es un proceso que consiste en expresar una suma o diferencia de términos como el producto de dos o más factores es decir, aquellos números que multiplicados dan dicha cantidad.

En la expresión (a + ab) es posible factorizar ya que en cada término se tiene la letra “a”, por lo tanto, al factorizar se tiene que (a + ab) = a(1 + b), si se realiza la multiplicación de los factores a(1 + b) se obtiene como producto la primera expresión (a + ab).

¿Cuál es la importancia de la factorización?

La factorización es una herramienta poderosa en el mundo de las matemáticas que nos permite simplificar expresiones y polinomios complejos, desglosándolos en factores más simples. Este proceso no solo facilita la resolución de ecuaciones y la simplificación de problemas matemáticos, sino que también tiene aplicaciones en diversas áreas de la vida cotidiana, desde la economía hasta la ingeniería.

La factorización es como un juego de rompecabezas matemáticos. Imagina que tienes una expresión matemática compleja y deseas descomponerla en piezas más pequeñas y manejables. Estas piezas se llaman "factores". Cuando multiplicamos estos factores, obtenemos la expresión original. La factorización nos ayuda a comprender mejor las propiedades de los números y las ecuaciones, lo que facilita la resolución de problemas y la simplificación de cálculos.

La importancia de la factorización radica en que se aplica en diversas áreas de las matemáticas y también en la vida cotidiana. Desde simplificar fracciones hasta resolver ecuaciones complejas, la factorización es una herramienta útil para estudiantes, profesionales y entusiastas de las matemáticas.

Historia

La factorización ha sido un tema de mucha relevancia en la vida de todos los matemáticos a lo largo de la historia y ha sido también una de las herramientas más importantes que se han utilizado para lograr transformar las expresiones algebraicas. Los babilonios, egipcios, hindúes, griegos y chinos, empezaron a factorizar números desde la antigüedad y con el paso del tiempo se fue extendiendo a otros lugares.

En el año 2000 a.C., los babilonios logran empezar a encontrar soluciones a las ecuaciones cuadráticas completando cuadrados. Entre los años 1050 y 711 a.C., en China, surge uno de los libros más importantes sobre el tema el cual implicaba la solución de ecuaciones de segundo grado que tuvieran una incógnita. En el año 300 a.C. en Grecia, el matemático griego Euclides hizo su libro sobre soluciones de ecuaciones de segundo grado completando cuadrados con aplicación de áreas.

Los árabes luego publicaron su libro sobre álgebra árabe y de la misma manera lo hicieron los indios. En el año 1545, en Italia, Scipione del Ferro logra incorporar las ecuaciones cúbicas y las de cuarto grado y en Estados Unidos, en el año 1611, Niels Henrik resolvió algebraica de ecuaciones.

Existen muchos casos de factoreo como el factor común, factor común por agrupación de términos, trinomio cuadrado perfecto entre otros pero, en este caso, vamos a enfocarnos en el caso 5 y el caso 6 de factoreo:

CASO V:

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN.

Existen algunos trinomios, en los cuales su primer y tercer términos son cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada exacta), pero su segundo términos no es el doble producto de sus raíces cuadradas.

x^2 + 2x + 9, no es un trinomio cuadrado perfecto.

Para que un trinomio de estos se convierta en un trinomio cuadrado perfecto, se debe sumar y restar un mismo número (semejante al segundo término) para que el segundo término sea el doble producto de las raíces cuadradas del primer y último término. A este proceso se le denomina completar cuadrados.

Un término es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otro término, es decir cuando es el producto de dos factores iguales,

Ejemplo:

10²=100 √100=10 10*10=100.

¿Qué es adición?

En álgebra la adición se aplica en números naturales, enteros, racionales, reales y complejos, y su función es sumar o agregar un valor a un término y se representa por el signo (+).

¿Que es sustracción?

En álgebra la sustracción se denomina a restar determinada cantidad a números naturales, enteros, racionales, reales y complejos y es representado por un sigo (-).

¿Cómo saber si es cuadrado perfecto?

Lo primero es saber la regla general de un cuadrado perfecto

El primer término y el tercero deben ser cuadrados perfectos es decir el exponente debe ser par es decir el mismo exponente y el doble producto de la raíz cuadrada del primer y tercer término debe coincidir coincidir con el segundo término.

Al momento de factorizar un trinomio cuadrado perfecto se escribe así (a±b)² dentro de el se aloja la raíz del primer término y el tercero separados por el signo correspondiente al segundo término.

Algunos trinomios no cumplen las condiciones para ser trinomios cuadrados perfectos, el primer y tercer término tienen raíz cuadrada perfecta pero el de la mitad no es el doble producto de las dos raíces. Se debe saber cuanto debe ser el doble producto y la cantidad que falte para cuadrar el término de la mitad, esta cantidad se le suma y se le resta al mismo tiempo, de tal forma se armara un trinomio cuadrado y factorizado unido con el último término tendremos una diferencia de cuadrados.

¿Cuáles son los pasos para hacer el procedimiento?

Pasos la factorizacion de adición o sustracción

Se ordena el término
La forma de un trinomio cuadrado perfecto es a²±2ab±b²
Si tu resultado no tiene la forma del paso anterior no es un trinomio perfecto
Sumar y restar la cantidad necesaria para convertirlo en un trinomio cuadrado perfecto.
Factorizamos aplicando el Caso 3 extraemos raíces al primer y tercer termino expresando en esta forma (a+b)².
Recuerda que para convertir la expresión en un trinomio cuadrado perfecto sumamos y restamos por lo tanto aplicamos el caso 4 diferencia de cuadrados.
Se ordena el resultado

Ejemplo:

1. Determinamos cuál debe ser el segundo término del trinomio. Para esto hallamos las raíces cuadradas del primer y tercer término, las multiplicamos entre sí y luego por dos. El término que buscamos es «2x^2» . Ahora lo que vamos a hacer es buscar un término que convierta al «x^2» en «2x^2» , ese es «x^2»

Noten que también también resté «x^2» para no alterar la expresión

2. Se factorizan los primeros tres términos del polinomio como un trinomio cuadrado perfecto

3. Y por último se factoriza la diferencia de cuadrados

Entonces la expresión quedaría factorizada así:

CASO VI:

TRINOMIO DE LA FORMA X^2+BX+C

A continuación vamos a presentar formas de factorizar este tipo de trinomios con sus respectivos ejemplos. Es importante resaltar que no hay un único método y que puedes elegir el que mejor te convenga para encontrar la factorización de un trinomio de la forma x2+bx+c.

PRIMER MÉTODO

Son trinomios que cumplen las siguientes condiciones:

El coeficiente del primer término es 1
El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado
El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa
El tercer término es independiente de la letra que aparece en el 1° y 2° términos y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa

Regla práctica para factorizar un trinomio de la forma x^2 + bx + c:

El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es x, o sea la raíz cuadrada del primer término del trinomio.
En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo término del trinomio, y en el segundo factor, despues de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del 2° término del tinomio por el signo del tercer término del trinomio.
Si los dos factores binomios tienen tienen en el medio signos iguales se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. estos números son los segundos términos de los binomios.
Si los dos factores binomios tienen en el medio signos distintos se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos números es el segundo término del primer binomio, y el menor, el segundo término del segundo binomio.

Esta regla práctica, muy sencilla en su aplicación, se aclarara con los siguientes ejemplos:

1. factorar

el trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada de x^2, o sea x:

en el primer binomio despues de x se pone signo + porque el segundo término del trinomio +5x tiene signo +. En el segundo binomio, despues de x, se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de + 5x por el signo de + 6 y se tiene que + por + da + o sea:

Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos que cuya suma sea 5 y cuyo producto sea 6. esos números son 2 y 3, luego:

SEGUNDO MÉTODO.

Para este caso se puede factorizar utilizando la ecuación de la resolvente la cual es la siguiente:

Esta fórmula es muy útil para resolver ecuaciones cuadráticas que son difíciles o imposibles de factorizar y usarla puede ser más rápido que completar el cuadrado. La fórmula cuadrática puede usarse para resolver cualquier ecuación de la forma ax^2 + bx + c = 0.

Primero asegúrate de que el lado derecho de la ecuación sea 0.

Simplifica y escribe los términos con el exponente en la variable en orden descendiente.

Ahora que la ecuación está en su forma estándar, puedes leer los valores de a, b y c de los coeficientes y la constante.

ax^2 + bx + c = 0.

Ejemplo:

factoriza el siguiente polinomio: